Kaltstart sollte stets so laufen: Springt spontan an (nach max 2 sec), Motor dreht ruckfrei ca. 1200 - für circa 10-15 Sekunden, dann senkt er sich ab auf Normaldrehzahl und läuft dort auch stabil.
Bis das Kühlmittel 60°C hat, das dauert einige Minuten Fahrt. (Öltemperatur übrigens nochmal deutlich länger).
Ob Du das kannst, weiß ich nicht. Ich würde den Kühlmittelsensor checken und auch noch den Thermozeitschalter.
Zum realen KE-Check ist natürlich immer sinnvoll, wenn man sich nicht sicher ist - kann aber ggf. teuer werden, wenn der Fehler noch woanders hängt oder eine Kombination aus mehrerem ist.... - unsere Autos sind halt 30 Jahre +
Ansonsten gibt es noch eine Beschreibung (PDF) vom Aufbau/Funktionsweise der KE (mit allen Sollwerten) im Netz inkl. Fehlerdiagnose - und hier anbei mal eine Aufzählung möglicher Symptome und deren möglicher Ursache...